Relasi dalam Matematika

  • Pengertian Relasi

Relasi adalah hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

 

  • Cara menyatakan Relasi

Cara menyatakan Relasi dapat dilakukan dengan:

  1. Diagram Panah
  1. Diagram Cartesius

DIAGRAM CARTESIUS

  1. Himpunan Pasangan Berurutan

Contoh di atas dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan dengan memasangkan secara berurutan anggota-anggota himpunan A dan anggota-anggota himpunan B yaitu:

{(1,A), (1,B), (2,B), (3,B), (3,C)}.

RELASI2

  • Sifat-Sifat Relasi

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

  • Refleksif
  • Irefleksif
  • Simetrik
  • Anti-simetrik
  • Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya.

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

Sebuah relasi “ genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

  • Refleksif
  • Simetrik, dan
  • Transitif

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

  • Refleksif
  • Anti-simetrik, dan
  • Transitif

 

Contoh soal Relasi dan penyelesaiannya :

  1. Misalkan A adalah himpunan yang anggotanya Anto, Andi, Yudi, Ani, Mila, dan Yanti. Dimana Anto, Andi, dan Yudi berjenis kelamin laki-laki, dan Ani, Mila, dan Yanti berjanis kelamin perempuan. Apakah himpunan A merupakan relasi ekuivalen ?

Jawab :

Untuk membuktikan himpunan A merupakan relasi ekuivalen harus memenihi ke-3 sifat yaitu refleksif,simetri dan transitif

  • sifat refleksif

anto ~ anto , berelasi dengan dirinya sendiri karena jenis kelaminnya laki-laki

  • sifat simetri

anto ~ andi

andi ~ anto , anto berelasi dengan andi dan andi berelasi dengan anto karena jenis kelaminnya sama.

  • sifat transitif

Mila ~ Ani

Ani ~ Yanti

Mila ~ Yanti

Mila berelasi dengan Ani dan Ani berelasi dengan Yanti maka otomatis Mila berelasi dengan Yanti karena jenis kelaminnya sama

kesimpulannya jadi himpunan A  merupakan relasi ekuivalen karena memenuhi ke-3 sifat dan sudah mempunyai relasi yaitu jenis kelamin yang sama.

 

  1. A = { x│x  ≤ 4,x ϵ asli }

B = { y│2 ≤ y ≤ 12,y ϵ genap }

Tentukan relasi dari A ke B yang menyebabkan y = 3x

Jawab :

soal relassi nomor 2

 

 

A = daerah asal (domain)

B = daerah hasil (kodomain)

Yang di tuju anak panah di sebut daerah hasil (range).

 

  1. Lima orang siswa memilih kegiatan masing-masing. Adit dengan basket , Candra dengan karate, Yoseph dengan voli, Ilham dengan tenis meja dan Joni dengan judo. Tuliskan relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutan!

Jawab :

{(Adit,basket),(Candra,karate),(Yoseph,voli),(Ilham,tenis meja),(Joni,judo)}

Referensi :

http://id.wikipedia.org/w/index.php?search=relasi+%28matematika%29&title=Istimewa%3APencarian&go=Tuju+ke

http://srirahayuutami99.wordpress.com/2013/05/24/contoh-soal-teori-himpunan-relasi-fungsi-dan-proposisi/

http://annawalyeni.blogspot.com/2012/10/pgsd-e-relasi-dan-fungsi_23.html

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s